(ক) কালিক পর্যায়ক্রম হলো এমন একটি প্রক্রিয়া বা রাশি, যা একটি নির্দিষ্ট সময় পরপর তার মান এবং গতির পুনরাবৃত্তি ঘটায়। অর্থাৎ, যে নির্দিষ্ট সময় পরপর কোনো রাশি বা ফাংশন তার পূর্বের অবস্থায় ফিরে আসে, তাকে কালিক পর্যায়ক্রম বলে। (খ) সরল দোলকের দোলনকাল $T$ এর সমীকরণ হলো, $$ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $$ এখানে, $L$ হলো দোলকের কার্যকরী দৈর্ঘ্য এবং $g$ হলো অভিকর্ষজ ত্বরণ। শীতকালে তাপমাত্রা কমে যাওয়ার ফলে দোলক ঘড়ির ধাতব দণ্ডের দৈর্ঘ্য বা কার্যকরী দৈর্ঘ্য $L$ সংকুচিত হয়ে কমে যায়। যেহেতু $T \propto \sqrt{L}$, তাই কার্যকরী দৈর্ঘ্য $L$ কমে গেলে দোলনকাল $T$ কমে যায়। দোলনকাল কমে যাওয়ার অর্থ হলো দোলকটি কম সময়ে একটি পূর্ণ দোলন সম্পন্ন করছে, ফলে ঘড়িটি দ্রুত চলে। (গ) দেওয়া আছে, সরণের সমীকরণ, $$ x = 10 \sin \left(\pi t + \frac{\pi}{4}\right) $$ বেগ $v$ হলো সরণের পরিবর্তনের হার, $$ \begin{aligned} v &= \frac{dx}{dt} \\ &= \frac{d}{dt} \left[ 10 \sin \left(\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \right] \\ &= 10 \cdot \pi \cos \left(\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned} $$ ত্বরণ $a$ হলো বেগের পরিবর্তনের হার, $$ \begin{aligned} a &= \frac{dv}{dt} \\ &= \frac{d}{dt} \left[ 10\pi \cos \left(\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \right] \\ &= -10\pi^2 \sin \left(\pi t + \frac{\pi}{4}\right) \end{aligned} $$ এখন, $t = 2\text{ s}$ হলে, $$ \begin{aligned} a &= -10\pi^2 \sin \left(\pi \cdot 2 + \frac{\pi}{4}\right) \\ &= -10\pi^2 \sin \left(2\pi + \frac{\pi}{4}\right) \\ &= -10\pi^2 \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) \\ &= -10\pi^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &\approx -69.81 \text{ m/s}^2 \end{aligned} $$ সুতরাং, $2\text{ s}$ পর দোলকটির ত্বরণ $69.81 \text{ m/s}^2$ (মান হিসেবে)। (ঘ) দেওয়া আছে, $x = 10 \sin \left(\pi t + \frac{\pi}{4}\right)$। একে $x = A \sin(\omega t + \delta)$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $$ \omega = \pi \text{ rad/s} $$ দোলনকাল, $$ T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{\pi} = 2 \text{ s} $$ ভূপৃষ্ঠে $100\text{ m}$ গভীরে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_d$ হলে, $$ \begin{aligned} g_d &= g \left(1 - \frac{d}{R}\right) \\ &= 9.8 \left(1 - \frac{100}{6.4 \times 10^6}\right) \\ &\approx 9.8 \times 0.999984375 \\ &\approx 9.799846 \text{ m/s}^2 \end{aligned} $$ গভীরতায় দোলনকাল $T_d$ হলে, $$ \begin{aligned} \frac{T_d}{T} &= \sqrt{\frac{g}{g_d}} \\ \Rightarrow T_d &= 2 \sqrt{\frac{9.8}{9.799846}} \\ &\approx 2 \times 1.0000078 \\ &\approx 2.0000156 \text{ s} \end{aligned} $$ যেহেতু দোলনকাল $T$ থেকে $T_d$ এ পরিবর্তিত হয়েছে, তাই নির্দিষ্ট সময়ে দোলন সংখ্যার পরিবর্তন হবে। ভূপৃষ্ঠে $1\text{ hour}$ বা $3600\text{ s}$ এ দোলন সংখ্যা $N_1 = \frac{3600}{2} = 1800$ টি। গভীরতায় $1\text{ hour}$ এ দোলন সংখ্যা $N_2 = \frac{3600}{2.0000156} \approx 1799.986$ টি। সুতরাং, দোলন সংখ্যার পরিবর্তন হবে।