(ক) যদি দুটি বর্গ ম্যাট্রিক্স $A$ এবং $B$ এর গুণফল একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স $I$ হয়, অর্থাৎ $AB = BA = I$ হয়, তবে $B$ ম্যাট্রিক্সকে $A$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বলা হয়। একে $A^{-1}$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়। (খ) $x = -1$ হলে, $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$। $$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 7 & 5 \\ 7 & 9 & 9 \\ 5 & 9 & 11 \end{bmatrix}$$ এখন, $$A^2 - 2A + 3I = \begin{bmatrix} 13 & 7 & 5 \\ 7 & 9 & 9 \\ 5 & 9 & 11 \end{bmatrix} - 2 \begin{bmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix} + 3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ $$= \begin{bmatrix} 13 & 7 & 5 \\ 7 & 9 & 9 \\ 5 & 9 & 11 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & 4 & 6 \\ 4 & 4 & 2 \\ 6 & 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$ $$= \begin{bmatrix} 16 & 3 & -1 \\ 3 & 8 & 7 \\ -1 & 7 & 12 \end{bmatrix}$$ (গ) ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হলে $|A| = 0$ হবে। $$|A| = \begin{vmatrix} 1+x & 2 & 3 \\ 2 & 3+x & 1 \\ 3 & 1 & 2+x \end{vmatrix} = 0$$ $C_1' = C_1 + C_2 + C_3$ প্রয়োগ করে: $$(x+6) \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3+x & 1 \\ 1 & 1 & 2+x \end{vmatrix} = 0$$ $R_1' = R_1 - R_2$ এবং $R_2' = R_2 - R_3$ প্রয়োগ করে: $$(x+6) \begin{vmatrix} 0 & -1-x & 2 \\ 0 & 2+x & -1-x \\ 1 & 1 & 2+x \end{vmatrix} = 0$$ $$(x+6) \{ (1+x)^2 - 2(2+x) \} = 0$$ $$(x+6)(x^2 + 2x + 1 - 4 - 2x) = 0$$ $$(x+6)(x^2 - 3) = 0$$ সুতরাং, $x = -6$ অথবা $x = \pm \sqrt{3}$।