সরল দোলন গতির সংজ্ঞানুসারে, কোনো কণার ত্বরণ $a$ তার সরণ $x$-এর সমানুপাতিক এবং সরণের বিপরীতমুখী। অর্থাৎ, $$ \begin{aligned} a \propto -x \\ \Rightarrow a &= -\omega^2 x \end{aligned} $$ যেখানে $\omega^2$ একটি সমানুপাতিক ধ্রুবক। আমরা জানি, ত্বরণ $a = \frac{d^2x}{dt^2}$। সুতরাং, সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণটি হলো, $$ \begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2} &= -\omega^2 x \\ \Rightarrow \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x &= 0 \end{aligned} $$ এখন, দেওয়া আছে $x = A \sin(\omega t + \delta)$। এই সমীকরণটি অন্তরক সমীকরণের সমাধান কি না তা যাচাই করার জন্য আমরা $x$-কে সময়ের সাপেক্ষে দুইবার অন্তরীকরণ করি। প্রথমবার অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= \frac{d}{dt} \{A \sin(\omega t + \delta)\} \\ &= A \cos(\omega t + \delta) \cdot \omega \\ &= A\omega \cos(\omega t + \delta) \end{aligned} $$ দ্বিতীয়বার অন্তরীকরণ করে পাই, $$ \begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2} &= \frac{d}{dt} \{A\omega \cos(\omega t + \delta)\} \\ &= A\omega \{-\sin(\omega t + \delta) \cdot \omega\} \\ &= -A\omega^2 \sin(\omega t + \delta) \end{aligned} $$ যেহেতু $x = A \sin(\omega t + \delta)$, তাই আমরা লিখতে পারি, $$ \begin{aligned} \frac{d^2x}{dt^2} &= -\omega^2 x \\ \Rightarrow \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x &= 0 \end{aligned} $$ যেহেতু $x = A \sin(\omega t + \delta)$ সমীকরণটি সরল দোলন গতির অন্তরক সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাই এটি উক্ত গতির একটি সমাধান।