ক.

কোনো দৈব পরীক্ষার সকল সম্ভাব্য ফলাফলের সেটকে নমুনাক্ষেত্র বলে। একে সাধারণত S দ্বারা সূচিত করা হয়।

খ.

একটি ঘটনার সম্ভাবনা 0.5 হলে ঘটনাটি হবে একটি অনিশ্চিত ঘটনা।
ব্যাখ্যা: অনিশ্চিত ঘটনা ঘটবার ক্ষেত্রে পরিপূর্ণ, নিশ্চয়তা থাকে না। অর্থাৎ, যে ঘটনাটি ঘটতেও পারে আবার নাও ঘটতে পারে, তাকে অনিশ্চিত ঘটনা বলে। অনিশ্চিত ঘটনার সম্ভাবনার মান শূন্যের (0) থেকে বড় কিন্তু 1 থেকে ছোট হয়। এখানে ঘটনাটির সম্ভাবনা 0.5; যা 0 থেকে বড় কিন্তু 1 থেকে ছোট।
অতএব, একটি ঘটনার সম্ভাবনা 0.5 হলে ঘটনাটি হবে একটি অনিশ্চিত ঘটনা।

গ.

শিউলী একটি নিরপেক্ষ ছক্কা এবং দুটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একত্রে নিক্ষেপ করলে নমুনাক্ষেত্র S হবে নিম্নরূপ :

∴ নমুনাক্ষেত্রে মোট নমুনা বিন্দুর সংখ্যা, $n(S)=24$ টি।

ধরি, A= মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার ঘটনা।

A ঘনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো :

${1HT, 1TH, 2HT, 2TH, 3HT, 3TH, 4HT, 4TH, 5HT, 5TH, 6HT, 6TH}$

∴ $n(A)=12$

∴ P( মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার) $=\mathrm{P}(\mathrm{A})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{A})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$

সুতরাং, মুদ্রায় বিপরীত পিঠ পাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$.

ঘ.

ধরি, B= মুদ্রায় দুটি মাথা পাবার ঘটনা

এবং C= ছক্কায় জোড়সংখ্যা পাবার ঘটটনা।

B ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো :

$\{1 \mathrm{HH}, 2 \mathrm{HH}, 3 \mathrm{HH}, 4 \mathrm{HH}, 5 \mathrm{HH}, 6 \mathrm{HH}\}$

$\therefore \mathrm{n}(\mathrm{B})=6$

$\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{B})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{6}{24}=\frac{1}{4}$

আবার, C ঘটনার অনুকূল নমুনা বিন্দুগুলো হলো :

${2HH, 2HT, 2TH, 2TT, 4HH, 4HT, 4TH, 4TT, 6HH, 6HT, 6TH, 6TT}$

$\therefore \mathrm{n}(\mathrm{C})=12$

$\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{C})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{C})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$

এখানে, $\mathrm{B} \cap \mathrm{C}$ এর অনুকূল সাধারণ নমুনা বিন্দুগুলো হলো :

${2HH, 4HH, 6HH}$

$\therefore \mathrm{n}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=3$

$\therefore \quad \mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\frac{\mathrm{n}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})}{\mathrm{n}(\mathrm{S})}=\frac{3}{24}=\frac{1}{8}$

এখন, B এবং C ঘটনা দুটি অনির্ভরশীল বা স্বাধীন হবে,

যদি $\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})=\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}(\mathrm{C})$ হয়।

এখানে, $\mathrm{P}(\mathrm{B}) \times \mathrm{P}(\mathrm{C})=\frac{1}{4} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}=\mathrm{P}(\mathrm{B} \cap \mathrm{C})$

সুতরাং, B এবং C ঘটনার অনির্ভরশীল বা স্বাধীন। অর্থাৎ, দুটি মাথা এবং জোড় সংখ্যা পাবার ঘটনাদ্বয় অনির্ভরশীল বা স্বাধীন।

অতএব, শিউলীর মন্তব্যটি যথার্থ ছিল।