(ক) (i) দুইটি ম্যাট্রিক্সের যোগফল নির্ণয়যোগ্য হবে যদি তাদের ক্রম (order) সমান হয়। (ii) দুইটি ম্যাট্রিক্স গুণনযোগ্য হবে যদি প্রথম ম্যাট্রিক্সের কলাম সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারি সংখ্যার সমান হয়। (খ) ধরি, ম্যাট্রিক্স $A = \begin{bmatrix} 5 & 9 & 5 \\ 4 & 2 & 4 \\ 2 & 7 & 8 \end{bmatrix}$। প্রথমে নির্ণায়ক $|A|$ এর মান নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} |A| &= 5(16 - 28) - 9(32 - 8) + 5(28 - 4) \\ &= 5(-12) - 9(24) + 5(24) \\ &= -60 - 216 + 120 \\ &= -156 \neq 0 \end{aligned} $$ যেহেতু $|A| \neq 0$, তাই $A^{-1}$ বিদ্যমান। সহগুণক ম্যাট্রিক্স $C$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} C_{11} &= +(16 - 28) = -12, \quad C_{12} = -(32 - 8) = -24, \quad C_{13} = +(28 - 4) = 24 \\ C_{21} &= -(72 - 35) = -37, \quad C_{22} = +(40 - 10) = 30, \quad C_{23} = -(35 - 18) = -17 \\ C_{31} &= +(36 - 10) = 26, \quad C_{32} = -(20 - 25) = 5, \quad C_{33} = +(10 - 36) = -26 \end{aligned} $$ অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স $adj A = C^T = \begin{bmatrix} -12 & -37 & 26 \\ -24 & 30 & 5 \\ 24 & -17 & -26 \end{bmatrix}$। সুতরাং, $A^{-1} = \frac{1}{|A|} adj A = \frac{1}{-156} \begin{bmatrix} -12 & -37 & 26 \\ -24 & 30 & 5 \\ 24 & -17 & -26 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{13} & \frac{37}{156} & -\frac{1}{6} \\ \frac{2}{13} & -\frac{5}{26} & -\frac{5}{156} \\ -\frac{2}{13} & \frac{17}{156} & \frac{1}{6} \end{bmatrix}$। (গ) উদ্দীপক অনুযায়ী সমীকরণ জোট: $$ \begin{aligned} 4P + 2q + 4r &= 190 \\ 5P + 9q + 5r &= 426 \\ 2P + 7q + 8r &= 377 \end{aligned} $$ নির্ণায়ক পদ্ধতিতে সমাধান: $$ \begin{aligned} D &= \begin{vmatrix} 4 & 2 & 4 \\ 5 & 9 & 5 \\ 2 & 7 & 8 \end{vmatrix} = 4(72 - 35) - 2(40 - 10) + 4(35 - 18) = 148 - 60 + 68 = 156 \\ D_P &= \begin{vmatrix} 190 & 2 & 4 \\ 426 & 9 & 5 \\ 377 & 7 & 8 \end{vmatrix} = 190(72 - 35) - 2(3408 - 1885) + 4(2982 - 3393) = 7030 - 3046 - 1644 = 2340 \\ D_q &= \begin{vmatrix} 4 & 190 & 4 \\ 5 & 426 & 5 \\ 2 & 377 & 8 \end{vmatrix} = 4(3408 - 1885) - 190(40 - 10) + 4(1885 - 852) = 6092 - 5700 + 4132 = 4524 \\ D_r &= \begin{vmatrix} 4 & 2 & 190 \\ 5 & 9 & 426 \\ 2 & 7 & 377 \end{vmatrix} = 4(3393 - 2982) - 2(1885 - 852) + 190(35 - 18) = 1644 - 2066 + 3230 = 2808 \end{aligned} $$ সুতরাং, $P = \frac{D_P}{D} = \frac{2340}{156} = 15$, $q = \frac{D_q}{D} = \frac{4524}{156} = 29$, $r = \frac{D_r}{D} = \frac{2808}{156} = 18$। নির্ণেয় মান: $P=15, q=29, r=18$।