(ক) এখানে, মোট ছাত্র সংখ্যা $N = 60$ জন। $80-90$ নম্বর প্রাপ্ত ছাত্র সংখ্যা $= 15$ জন। দৈবচয়নে একজন ছাত্র নির্বাচন করলে তার $80-90$ শ্রেণিতে থাকার সম্ভাবনা, $$P(A) = \frac{15}{60} = \frac{1}{4}$$ সুতরাং, $80-90$ শ্রেণিতে না থাকার সম্ভাবনা, $$P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$$ (খ) আমরা জানি, পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum f_i x_i^2 - ( \frac{1}{N} \sum f_i x_i )^2}$। পরিমিত ব্যবধান নির্ণয়ের গণনা তালিকা: সারণি থেকে পাই, $\sum f_i x_i = 4380$ এবং $\sum f_i x_i^2 = 328100$। পরিমিত ব্যবধান, $$\begin{aligned} \sigma &= \sqrt{\frac{328100}{60} - ( \frac{4380}{60} )^2} \\ &= \sqrt{5468.33 - (73)^2} \\ &= \sqrt{5468.33 - 5329} \\ &= \sqrt{139.33} \\ &\approx 11.80 \end{aligned}$$ ফলাফল ব্যাখ্যা: ছাত্রদের গণিত ১ম পত্রে প্রাপ্ত নম্বরের গড় $73$ এবং তাদের নম্বরের পরিমিত ব্যবধান $11.80$, যা নির্দেশ করে যে অধিকাংশ ছাত্রের নম্বর গড় থেকে প্রায় $11.80$ ব্যবধানে বিস্তৃত। (গ) এখানে, মোট ছাত্র সংখ্যা $60$ জন। নিরপেক্ষভাবে দুইজন শিক্ষার্থীকে বাছাই করার মোট উপায় $= ^{60}C_2 = \frac{60 \times 59}{2} = 1770$। দুইজন শিক্ষার্থী একই শ্রেণিতে হওয়ার উপায়সমূহ: - $40-50$ শ্রেণিতে: $^{10}C_2 = 45$ - $50-60$ শ্রেণিতে: $^{15}C_2 = 105$ - $60-70$ শ্রেণিতে: $^{16}C_2 = 120$ - $70-80$ শ্রেণিতে: $^{15}C_2 = 105$ - $80-90$ শ্রেণিতে: $^{4}C_2 = 6$ একই শ্রেণিতে হওয়ার মোট উপায় $= 45 + 105 + 120 + 105 + 6 = 381$। একই শ্রেণিতে হওয়ার সম্ভাবনা $= \frac{381}{1770} = \frac{127}{590}$। সুতরাং, ভিন্ন ভিন্ন শ্রেণিতে হওয়ার সম্ভাবনা, $$P = 1 - \frac{127}{590} = \frac{590 - 127}{590} = \frac{463}{590}$$