(ক) বামপক্ষ $= \frac{\sin 75^{\circ} + \sin 15^{\circ}}{\sin 75^{\circ} - \sin 15^{\circ}}$ আমরা জানি, $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$। সুতরাং, $$ \begin{aligned} \text{বামপক্ষ} &= \frac{\sin(90^{\circ} - 15^{\circ}) + \sin 15^{\circ}}{\sin(90^{\circ} - 15^{\circ}) - \sin 15^{\circ}} \\ &= \frac{\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ}}{\cos 15^{\circ} - \sin 15^{\circ}} \end{aligned} $$ লব ও হরকে $\cos 15^{\circ}$ দ্বারা ভাগ করে পাই, $$ \begin{aligned} &= \frac{1 + \tan 15^{\circ}}{1 - \tan 15^{\circ}} \\ &= \frac{\tan 45^{\circ} + \tan 15^{\circ}}{1 - \tan 45^{\circ} \tan 15^{\circ}} \\ &= \tan(45^{\circ} + 15^{\circ}) \\ &= \tan 60^{\circ} \\ &= \sqrt{3} \end{aligned} $$ সুতরাং, বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)। (খ) দেওয়া আছে, $\alpha + \beta + \gamma = \pi$। বামপক্ষ $= \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta + \sin^2 \gamma$ $$ \begin{aligned} &= \sin^2 \alpha + \sin^2 \gamma - \sin^2 \beta \\ &= \frac{1}{2}(2 \sin^2 \alpha + 2 \sin^2 \gamma) - \sin^2 \beta \\ &= \frac{1}{2}(1 - \cos 2\alpha + 1 - \cos 2\gamma) - \sin^2 \beta \\ &= 1 - \frac{1}{2}(\cos 2\alpha + \cos 2\gamma) - \sin^2 \beta \\ &= 1 - \cos(\alpha + \gamma) \cos(\alpha - \gamma) - \sin^2 \beta \end{aligned} $$ যেহেতু $\alpha + \beta + \gamma = \pi$, তাই $\alpha + \gamma = \pi - \beta$। সুতরাং $\cos(\alpha + \gamma) = \cos(\pi - \beta) = -\cos \beta$। $$ \begin{aligned} &= 1 - (-\cos \beta) \cos(\alpha - \gamma) - \sin^2 \beta \\ &= (1 - \sin^2 \beta) + \cos \beta \cos(\alpha - \gamma) \\ &= \cos^2 \beta + \cos \beta \cos(\alpha - \gamma) \\ &= \cos \beta [\cos \beta + \cos(\alpha - \gamma)] \\ &= \cos \beta [\cos(\pi - (\alpha + \gamma)) + \cos(\alpha - \gamma)] \\ &= \cos \beta [-\cos(\alpha + \gamma) + \cos(\alpha - \gamma)] \\ &= \cos \beta [\cos(\alpha - \gamma) - \cos(\alpha + \gamma)] \\ &= \cos \beta (2 \sin \alpha \sin \gamma) \\ &= 2 \sin \alpha \cos \beta \sin \gamma \end{aligned} $$ সুতরাং, বামপক্ষ $=$ ডানপক্ষ (প্রমাণিত)। (গ) দেওয়া আছে, $\cos P = \sin Q - \cos R$। $$ \begin{aligned} \Rightarrow \cos P + \cos R &= \sin Q \\ \Rightarrow 2 \cos \frac{P+R}{2} \cos \frac{P-R}{2} &= 2 \sin \frac{Q}{2} \cos \frac{Q}{2} \end{aligned} $$ যেহেতু $P+Q+R = \pi$, তাই $\frac{P+R}{2} = \frac{\pi - Q}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{Q}{2}$। $$ \begin{aligned} \Rightarrow 2 \cos\left(\frac{\pi}{2} - \frac{Q}{2}\right) \cos \frac{P-R}{2} &= 2 \sin \frac{Q}{2} \cos \frac{Q}{2} \\ \Rightarrow 2 \sin \frac{Q}{2} \cos \frac{P-R}{2} &= 2 \sin \frac{Q}{2} \cos \frac{Q}{2} \end{aligned} $$ উভয় পক্ষকে $2 \sin \frac{Q}{2}$ দ্বারা ভাগ করে পাই (যেহেতু $Q \neq 0$), $$ \begin{aligned} \cos \frac{P-R}{2} &= \cos \frac{Q}{2} \\ \Rightarrow \frac{P-R}{2} &= \pm \frac{Q}{2} \end{aligned} $$ কেস ১: $\frac{P-R}{2} = \frac{Q}{2} \Rightarrow P - R = Q \Rightarrow P = Q + R$। যেহেতু $P+Q+R = \pi$, তাই $P + P = \pi \Rightarrow 2P = \pi \Rightarrow P = \frac{\pi}{2}$। কেস ২: $\frac{P-R}{2} = -\frac{Q}{2} \Rightarrow P - R = -Q \Rightarrow R = P + Q$। যেহেতু $P+Q+R = \pi$, তাই $R + R = \pi \Rightarrow 2R = \pi \Rightarrow R = \frac{\pi}{2}$। যেহেতু ত্রিভুজের একটি কোণ সমকোণ, তাই $\triangle PQR$ একটি সমকোণী ত্রিভুজ। (দেখানো হলো)