(ক) পণ্যগুলোকে কলাম বরাবর নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$। ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতি (idempotent) হবে যদি $A^2 = A$ হয়। $$ \begin{aligned} A^2 &= \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 4+2+3 & 4+2+2 & 2+6+4 \\ 2+1+9 & 2+1+6 & 1+3+12 \\ 6+2+12 & 6+2+8 & 3+6+16 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 9 & 8 & 12 \\ 12 & 9 & 16 \\ 20 & 16 & 25 \end{bmatrix} \neq A \end{aligned} $$ যেহেতু $A^2 \neq A$, তাই ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতি নয়। (খ) পণ্যগুলোকে সারি বরাবর নিয়ে গঠিত ম্যাট্রিক্স $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \end{bmatrix}$। নির্ণায়ক $|B| = 2(4-6) - 1(8-2) + 3(6-1) = -4 - 6 + 15 = 5 \neq 0$। সহগুণক ম্যাট্রিক্স $C$ নির্ণয় করি: $$ \begin{aligned} C_{11} &= +(4-6) = -2, \quad C_{12} = -(8-2) = -6, \quad C_{13} = +(6-1) = 5 \\ C_{21} &= -(4-9) = 5, \quad C_{22} = +(8-3) = 5, \quad C_{23} = -(6-1) = -5 \\ C_{31} &= +(2-3) = -1, \quad C_{32} = -(4-6) = 2, \quad C_{33} = +(2-2) = 0 \end{aligned} $$ অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স $adj B = C^T = \begin{bmatrix} -2 & 5 & -1 \\ -6 & 5 & 2 \\ 5 & -5 & 0 \end{bmatrix}$। সুতরাং, $B^{-1} = \frac{1}{|B|} adj B = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -2 & 5 & -1 \\ -6 & 5 & 2 \\ 5 & -5 & 0 \end{bmatrix}$। (গ) প্রতিটি পণ্যের লাভ = বিক্রয়মূল্য - উৎপাদন খরচ। $x$ পণ্যের লাভ = $23 - 17 = 6$ টাকা। $y$ পণ্যের লাভ = $18 - 12 = 6$ টাকা। $z$ পণ্যের লাভ = $25 - 15 = 10$ টাকা। প্রতিদিন উৎপাদিত পণ্যের ম্যাট্রিক্স $E = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix}$ এবং লাভের কলাম ম্যাট্রিক্স $L = \begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 10 \end{bmatrix}$। প্রতিদিনের মোট লাভ $P = E \times L$: $$ \begin{aligned} P &= \begin{bmatrix} 2 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 6 \\ 6 \\ 10 \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} 12+12+10 \\ 6+6+30 \\ 18+12+40 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 34 \\ 42 \\ 70 \end{bmatrix} \end{aligned} $$ প্রতিদিনের মোট লাভ = $34 + 42 + 70 = 146$ টাকা। প্রতি সপ্তাহে (৭ দিনে) কোম্পানির লাভ = $146 \times 7 = 1022$ টাকা।