(ক) সরল ছন্দিত গতি হলো এমন এক ধরনের পর্যাবৃত্ত গতি, যেখানে কোনো বস্তুর ত্বরণ সাম্যাবস্থান থেকে তার সরণের সমানুপাতিক এবং সর্বদা সাম্যাবস্থানের অভিমুখী হয়। (খ) সরল ছন্দিত স্পন্দনরত কণার গতির সমীকরণ $x = A \sin(\omega t + \delta)$। এখানে $A$ হলো বিস্তার এবং $\omega$ হলো কৌণিক কম্পাঙ্ক। পর্যায়কাল $T$ এর সমীকরণ হলো: $$ \begin{aligned} T &= \frac{2\pi}{\omega} \end{aligned} $$ দেখা যাচ্ছে যে, পর্যায়কাল $T$ শুধুমাত্র কৌণিক কম্পাঙ্ক $\omega$ এর ওপর নির্ভর করে, বিস্তারের ($A$) ওপর নয়। তাই সরল ছন্দিত কণার বিস্তার দ্বিগুণ করা হলেও পর্যায়কাল অপরিবর্তিত থাকবে। (গ) দেওয়া আছে, সরণের সমীকরণ $x = 8 \cos(6\pi t + \frac{\pi}{3})$ মিটার। বেগ $v = \frac{dx}{dt}$ এবং ত্বরণ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}$। $$ \begin{aligned} v &= \frac{d}{dt} \left[ 8 \cos\left(6\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \right] \\ &= 8 \left[ -\sin\left(6\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \right] \times 6\pi \\ &= -48\pi \sin\left(6\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \\ a &= \frac{d}{dt} \left[ -48\pi \sin\left(6\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \right] \\ &= -48\pi \left[ \cos\left(6\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \right] \times 6\pi \\ &= -288\pi^2 \cos\left(6\pi t + \frac{\pi}{3}\right) \end{aligned} $$ $t = 3$ সেকেন্ড সময় ত্বরণ: $$ \begin{aligned} a &= -288\pi^2 \cos\left(6\pi(3) + \frac{\pi}{3}\right) \\ &= -288\pi^2 \cos\left(18\pi + \frac{\pi}{3}\right) \\ &= -288\pi^2 \cos\left(\frac{\pi}{3}\right) \\ &= -288\pi^2 \times 0.5 \\ &= -144\pi^2 \approx -1421.22 \text{ m/s}^2 \end{aligned} $$ ত্বরণের মান $1421.22 \text{ m/s}^2$। (ঘ) সরল ছন্দিত স্পন্দনের ব্যবকলনীয় সমীকরণটি হলো $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$। দেওয়া আছে, $x = 8 \cos(6\pi t + \frac{\pi}{3})$। এখানে $\omega = 6\pi$। $$ \begin{aligned} \frac{dx}{dt} &= -8(6\pi) \sin(6\pi t + \frac{\pi}{3}) \\ \frac{d^2x}{dt^2} &= -8(6\pi)^2 \cos(6\pi t + \frac{\pi}{3}) \\ &= -(6\pi)^2 \times [8 \cos(6\pi t + \frac{\pi}{3})] \\ &= -\omega^2 x \\ \Rightarrow \frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x &= 0 \end{aligned} $$ যেহেতু সমীকরণটি ব্যবকলনীয় সমীকরণকে সিদ্ধ করে, তাই এটি সরল ছন্দিত স্পন্দনের একটি সমাধান। দেখানো হলো।