(ক) স্প্রিংয়ের সাম্যাবস্থান থেকে স্প্রিংটিকে একক দৈর্ঘ্য প্রসারিত বা সংকুচিত করতে যে পরিমাণ বল প্রয়োগ করতে হয়, তাকে ওই স্প্রিংয়ের স্প্রিং ধ্রুবক বলে। (খ) আমরা জানি, কোনো বস্তুর গতি যদি পর্যাবৃত্ত গতি হয়, স্পন্দন গতি হয়, গতিপথ সরলরৈখিক হয় এবং ত্বরণ সাম্যাবস্থান থেকে সরণের সমানুপাতিক ও বিপরীতমুখী হয়, তবে তাকে সরল ছন্দিত স্পন্দন বলে। কম্পনশীল সুরশলাকার বাহুর গতি একটি পর্যাবৃত্ত ও স্পন্দন গতি। এর গতিপথ সরলরৈখিক এবং এর ত্বরণ সবসময় সাম্যাবস্থান অভিমুখী ও সরণের সমানুপাতিক। যেহেতু সুরশলাকার বাহুর গতির মধ্যে সরল ছন্দিত স্পন্দনের সব শর্ত বিদ্যমান, তাই এটি একটি সরল ছন্দিত স্পন্দন। (গ) আমরা জানি, সেকেন্ড দোলকের পর্যায়কাল $T = 2 \text{ s}$ এবং ভূপৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ $g = 9.8 \text{ ms}^{-2}$। পর্যায়কালের সূত্রানুসারে, $$ \begin{aligned} T &= 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \\ \Rightarrow T^2 &= 4\pi^2 \frac{L}{g} \\ \Rightarrow L &= \frac{gT^2}{4\pi^2} \end{aligned} $$ মান বসিয়ে পাই, $$ \begin{aligned} L &= \frac{9.8 \times 2^2}{4 \times (3.1416)^2} \\ &= 0.993 \text{ m} \end{aligned} $$ সুতরাং, দোলকটির কার্যকর দৈর্ঘ্য $0.993 \text{ m}$। (ঘ) ভূপৃষ্ঠে দোলকটি সঠিক সময় দেয়, অর্থাৎ $T = 2 \text{ s}$। খনিতে দোলকটি দৈনিক $20 \text{ s}$ ধীরে চলে। সুতরাং, খনিতে দোলকটির পর্যায়কাল $T_1$ হলে, $$ \begin{aligned} T_1 &= \frac{86400}{86400 - 20} \times 2 \\ &= 2.00046 \text{ s} \end{aligned} $$ আমরা জানি, $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ এবং $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_1}}$। সুতরাং, $$ \begin{aligned} \frac{T_1}{T} &= \sqrt{\frac{g}{g_1}} \\ \Rightarrow \frac{g_1}{g} &= \left( \frac{T}{T_1} \right)^2 \end{aligned} $$ ভূপৃষ্ঠ থেকে $h_1$ গভীরতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ $g_1 = g \left( 1 - \frac{h_1}{R} \right)$। $$ \begin{aligned} 1 - \frac{h_1}{R} &= \left( \frac{2}{2.00046} \right)^2 \\ \Rightarrow \frac{h_1}{R} &= 1 - 0.99954 \\ \Rightarrow h_1 &= 0.00046 \times 6400 \text{ km} = 2.944 \text{ km} = 2944 \text{ m} \end{aligned} $$ আবার, পাহাড়ে দোলকটি দৈনিক $60 \text{ s}$ ধীরে চলে। পাহাড়ে পর্যায়কাল $T_2$ হলে, $$ \begin{aligned} T_2 &= \frac{86400}{86400 - 60} \times 2 \\ &= 2.00139 \text{ s} \end{aligned} $$ পাহাড়ের উচ্চতা $h_2$ হলে, $g_2 = g \left( 1 - \frac{2h_2}{R} \right)$। $$ \begin{aligned} \frac{g_2}{g} &= \left( \frac{T}{T_2} \right)^2 \\ \Rightarrow 1 - \frac{2h_2}{R} &= \left( \frac{2}{2.00139} \right)^2 \\ \Rightarrow \frac{2h_2}{R} &= 1 - 0.99861 \\ \Rightarrow h_2 &= \frac{0.00139 \times 6400 \text{ km}}{2} = 4.448 \text{ km} = 4448 \text{ m} \end{aligned} $$ এখন, $$ \begin{aligned} \frac{h_1}{h_2} &= \frac{2944}{4448} \approx 0.662 \end{aligned} $$ অর্থাৎ, খনির গভীরতা পাহাড়ের উচ্চতার প্রায় $0.662$ গুণ।