(ক)
প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:
$$x^2 + y^2 - 4x - 6y = 0$$
এই বৃত্তটিকে আদর্শ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2g x + 2f y + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই:
$$2g = -4 \Rightarrow g = -2$$
$$2f = -6 \Rightarrow f = -3$$
সুতরাং, বৃত্তটির কেন্দ্র:
$$(-g, -f) = (2, 3)$$
যেহেতু নির্ণেয় বৃত্তটি প্রদত্ত বৃত্তের সাথে সমকেন্দ্রিক, তাই নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্রও হবে $(2, 3)$।
দেওয়া আছে, নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r = 3$।
আমরা জানি, $(h, k)$ কেন্দ্র এবং $r$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ:
$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$
এখানে মান বসিয়ে পাই:
$$
\begin{aligned}
(x - 2)^2 + (y - 3)^2 &= 3^2 \\
\Rightarrow\quad x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 &= 9 \\
\Rightarrow\quad x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 &= 0
\end{aligned}
$$
সুতরাং, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
$$x^2 + y^2 - 4x - 6y + 4 = 0$$
(খ)
উদ্দীপকে প্রদত্ত বৃত্তদ্বয়ের সমীকরণ:
$$x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 = 0 \quad \dots (i)$$
$$x^2 + y^2 + 8x + y + 10 = 0 \quad \dots (ii)$$
বৃত্তদ্বয়ের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ পেতে $(ii)$ নং সমীকরণ থেকে $(i)$ নং সমীকরণ বিয়োগ করি:
$$
\begin{aligned}
(x^2 + y^2 + 8x + y + 10) - (x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6) &= 0 \\
\Rightarrow\quad 2x - y + 4 &= 0 \quad \dots (iii)
\end{aligned}
$$
এটিই সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ।
এখন, $(i)$ নং বৃত্ত এবং $(iii)$ নং সাধারণ জ্যা-এর ছেদবিন্দুগামী যেকোনো বৃত্তের সমীকরণ:
$$
\begin{aligned}
x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 + k(2x - y + 4) &= 0 \\
\Rightarrow\quad x^2 + y^2 + (6 + 2k)x + (2 - k)y + (6 + 4k) &= 0 \quad \dots (iv)
\end{aligned}
$$
এখানে $k$ একটি ধ্রুবক।
$(iv)$ নং বৃত্তের কেন্দ্র:
$$
\begin{aligned}
\text{কেন্দ্র} &\equiv ( -\frac{6 + 2k}{2}, -\frac{2 - k}{2} ) \\
&\equiv ( -(3 + k), \frac{k - 2}{2} )
\end{aligned}
$$
যেহেতু সাধারণ জ্যা-টি নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাস, তাই বৃত্তের কেন্দ্রটি অবশ্যই এই জ্যা বা সরলরেখার ওপর অবস্থিত হবে।
সুতরাং, কেন্দ্র $( -(3 + k), \frac{k - 2}{2} )$ বিন্দুটি $(iii)$ নং রেখার ওপর বসিয়ে পাই:
$$
\begin{aligned}
2[-(3 + k)] - ( \frac{k - 2}{2} ) + 4 &= 0 \\
\Rightarrow\quad -2(3 + k) - \frac{k - 2}{2} + 4 &= 0 \\
\Rightarrow\quad -6 - 2k - \frac{k - 2}{2} + 4 &= 0 \\
\Rightarrow\quad -2k - 2 - \frac{k - 2}{2} &= 0 \\
\Rightarrow\quad 2( -2k - 2 ) - (k - 2) &= 0 \\
\Rightarrow\quad -4k - 4 - k + 2 &= 0 \\
\Rightarrow\quad -5k - 2 &= 0 \\
\Rightarrow\quad 5k &= -2 \\
\Rightarrow\quad k &= -\frac{2}{5}
\end{aligned}
$$
এখন, $k = -\frac{2}{5}$ মানটি $(iv)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:
$$
\begin{aligned}
x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 - \frac{2}{5}(2x - y + 4) &= 0 \\
\Rightarrow\quad 5(x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6) - 2(2x - y + 4) &= 0 \\
\Rightarrow\quad 5x^2 + 5y^2 + 30x + 10y + 30 - 4x + 2y - 8 &= 0 \\
\Rightarrow\quad 5x^2 + 5y^2 + 26x + 12y + 22 &= 0
\end{aligned}
$$
সুতরাং, নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
$$5x^2 + 5y^2 + 26x + 12y + 22 = 0$$
(গ)
উদ্দীপকের ১ম বৃত্তের সমীকরণ:
$$x^2 + y^2 + 6x + 2y + 6 = 0$$
বৃত্তটির কেন্দ্র এবং ব্যাসার্ধ নির্ণয় করি:
এখানে,
$$2g = 6 \Rightarrow g = 3$$
$$2f = 2 \Rightarrow f = 1$$
$$c = 6$$
সুতরাং, কেন্দ্র:
$$C \equiv (-g, -f) \equiv (-3, -1)$$
এবং ব্যাসার্ধ:
$$
\begin{aligned}
r &= \sqrt{g^2 + f^2 - c} \\
&= \sqrt{3^2 + 1^2 - 6} \\
&= \sqrt{9 + 1 - 6} \\
&= \sqrt{4} \\
&= 2
\end{aligned}
$$
এখন, $(-3, 2)$ বিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ:
$$
\begin{aligned}
y - 2 &= m(x - (-3)) \\
\Rightarrow\quad y - 2 &= m(x + 3) \\
\Rightarrow\quad mx - y + 3m + 2 &= 0 \quad \dots (v)
\end{aligned}
$$
এখানে $m$ হলো রেখাটির ঢাল।
যদি $(v)$ নং রেখাটি প্রদত্ত বৃত্তের স্পর্শক হয়, তবে বৃত্তের কেন্দ্র $(-3, -1)$ হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধ $2$ এর সমান হবে।
সুতরাং,
$$
\begin{aligned}
\frac{|m(-3) - (-1) + 3m + 2|}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} &= 2 \\
\Rightarrow\quad \frac{|-3m + 1 + 3m + 2|}{\sqrt{m^2 + 1}} &= 2 \\
\Rightarrow\quad \frac{|3|}{\sqrt{m^2 + 1}} &= 2 \\
\Rightarrow\quad \frac{3}{\sqrt{m^2 + 1}} &= 2 \\
\Rightarrow\quad 2\sqrt{m^2 + 1} &= 3 \\
\Rightarrow\quad 4(m^2 + 1) &= 9 \\
\Rightarrow\quad 4m^2 + 4 &= 9 \\
\Rightarrow\quad 4m^2 &= 5 \\
\Rightarrow\quad m^2 &= \frac{5}{4} \\
\Rightarrow\quad m &= \pm\frac{\sqrt{5}}{2}
\end{aligned}
$$
এখন, $m$ এর মান $(v)$ নং সমীকরণে বসিয়ে স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ পাই:
যখন $m = \frac{\sqrt{5}}{2}$:
$$
\begin{aligned}
\frac{\sqrt{5}}{2}x - y + 3( \frac{\sqrt{5}}{2} ) + 2 &= 0 \\
\Rightarrow\quad \sqrt{5}x - 2y + 3\sqrt{5} + 4 &= 0 \quad \dots (vi)
\end{aligned}
$$
যখন $m = -\frac{\sqrt{5}}{2}$:
$$
\begin{aligned}
-\frac{\sqrt{5}}{2}x - y + 3( -\frac{\sqrt{5}}{2} ) + 2 &= 0 \\
\Rightarrow\quad -\sqrt{5}x - 2y - 3\sqrt{5} + 4 &= 0 \\
\Rightarrow\quad \sqrt{5}x + 2y + 3\sqrt{5} - 4 &= 0 \quad \dots (vii)
\end{aligned}
$$
সুতরাং, স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ:
$$\sqrt{5}x - 2y + 3\sqrt{5} + 4 = 0$$
এবং
$$\sqrt{5}x + 2y + 3\sqrt{5} - 4 = 0$$
আমরা জানি, স্পর্শবিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্ব স্পর্শকের ওপর লম্ব এবং তা বৃত্তের কেন্দ্রগামী হয়।
$(vi)$ নং স্পর্শকের লম্বরেখার সমীকরণ:
$$2x + \sqrt{5}y + k_1 = 0$$
যেহেতু অভিলম্বটি বৃত্তের কেন্দ্র $(-3, -1)$ দিয়ে যায়, তাই:
$$
\begin{aligned}
2(-3) + \sqrt{5}(-1) + k_1 &= 0 \\
\Rightarrow\quad -6 - \sqrt{5} + k_1 &= 0 \\
\Rightarrow\quad k_1 &= 6 + \sqrt{5}
\end{aligned}
$$
সুতরাং, একটি অভিলম্বের সমীকরণ:
$$2x + \sqrt{5}y + 6 + \sqrt{5} = 0$$
আবার, $(vii)$ নং স্পর্শকের লম্বরেখার সমীকরণ:
$$2x - \sqrt{5}y + k_2 = 0$$
যেহেতু এই অভিলম্বটিও বৃত্তের কেন্দ্র $(-3, -1)$ দিয়ে যায়, তাই:
$$
\begin{aligned}
2(-3) - \sqrt{5}(-1) + k_2 &= 0 \\
\Rightarrow\quad -6 + \sqrt{5} + k_2 &= 0 \\
\Rightarrow\quad k_2 &= 6 - \sqrt{5}
\end{aligned}
$$
সুতরাং, অপর অভিলম্বের সমীকরণ:
$$2x - \sqrt{5}y + 6 - \sqrt{5} = 0$$
অতএব, নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ:
$$\sqrt{5}x - 2y + 3\sqrt{5} + 4 = 0$$
$$\sqrt{5}x + 2y + 3\sqrt{5} - 4 = 0$$
এবং অভিলম্বদ্বয়ের সমীকরণ:
$$2x + \sqrt{5}y + 6 + \sqrt{5} = 0$$
$$2x - \sqrt{5}y + 6 - \sqrt{5} = 0$$