(ক) প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ, $$x^2+y^2-12x-4y+4=0$$ বৃত্তটির কেন্দ্র $G$ নির্ণয়ের জন্য সমীকরণটিকে $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $2g=-12 \Rightarrow g=-6$ এবং $2f=-4 \Rightarrow f=-2$। সুতরাং কেন্দ্র $G(6, 2)$। $A$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(0, -4)$ এবং $G(6, 2)$ হলে, $AG$ রেখার সমীকরণ: $$\begin{aligned} \frac{y-(-4)}{x-0} &= \frac{2-(-4)}{6-0} \\ \Rightarrow \frac{y+4}{x} &= \frac{6}{6} \\ \Rightarrow y+4 &= x \\ \Rightarrow x-y-4 &= 0 \end{aligned}$$ (খ) উদ্দীপকের চিত্রানুসারে, $AP$ রেখাটি $y$-অক্ষ ($x=0$) এবং $AQ$ রেখাটি $x$-অক্ষের সমান্তরাল $A(0, -4)$ বিন্দুগামী রেখা ($y=-4$) নির্দেশ করে। $P$ বিন্দুর জন্য, $x=0$ বৃত্তের সমীকরণে বসিয়ে: $$0^2+y^2-12(0)-4y+4=0 \Rightarrow y^2-4y+4=0 \Rightarrow (y-2)^2=0 \Rightarrow y=2$$ সুতরাং $P(0, 2)$। $Q$ বিন্দুর জন্য, $y=-4$ বৃত্তের সমীকরণে বসিয়ে: $$x^2+(-4)^2-12x-4(-4)+4=0 \Rightarrow x^2-12x+36=0 \Rightarrow (x-6)^2=0 \Rightarrow x=6$$ সুতরাং $Q(6, -4)$। $PQ$ কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ: $$(x-0)(x-6) + (y-2)(y+4) = 0$$ $$\Rightarrow x^2-6x + y^2+2y-8 = 0$$ $$\Rightarrow x^2+y^2-6x+2y-8 = 0$$ (গ) $A(0, -4)$ এবং $H(5, 1)$ কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ: $$(x-0)(x-5) + (y+4)(y-1) = 0$$ $$\Rightarrow x^2-5x + y^2+3y-4 = 0$$ $$\Rightarrow x^2+y^2-5x+3y-4 = 0 \quad \dots (i)$$ প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ: $$x^2+y^2-12x-4y+4 = 0 \quad \dots (ii)$$ $(i)$ থেকে $(ii)$ বিয়োগ করে সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ পাই: $$(x^2+y^2-5x+3y-4) - (x^2+y^2-12x-4y+4) = 0$$ $$\Rightarrow 7x+7y-8 = 0 \quad \dots (iii)$$ এই সাধারণ জ্যা-কে ব্যাস ধরে অঙ্কিত বৃত্তের সমীকরণ হবে $S_1 + kL = 0$ আকারের, যেখানে $S_1$ হলো $(i)$ নং বৃত্ত এবং $L$ হলো $(iii)$ নং রেখা। $$x^2+y^2-5x+3y-4 + k(7x+7y-8) = 0$$ $$\Rightarrow x^2+y^2+(7k-5)x + (7k+3)y - (8k+4) = 0$$ এই বৃত্তের কেন্দ্র $(-\frac{7k-5}{2}, -\frac{7k+3}{2})$। যেহেতু এই বৃত্তের ব্যাস $(iii)$ নং রেখা, তাই কেন্দ্রটি $(iii)$ নং রেখার ওপর অবস্থিত: $$7(-\frac{7k-5}{2}) + 7(-\frac{7k+3}{2}) - 8 = 0$$ $$\Rightarrow -49k+35 - 49k-21 - 16 = 0$$ $$\Rightarrow -98k - 2 = 0 \Rightarrow k = -\frac{1}{49}$$ $k$-এর মান বসিয়ে পাই: $$x^2+y^2 + (7(-\frac{1}{49})-5)x + (7(-\frac{1}{49})+3)y - (8(-\frac{1}{49})+4) = 0$$ $$\Rightarrow x^2+y^2 - \frac{36}{7}x + \frac{20}{7}y - \frac{188}{49} = 0$$ $$\Rightarrow 49x^2+49y^2-252x+140y-188 = 0$$