(ক) দেওয়া আছে, বৃত্তের কেন্দ্র $(0, 3)$ এবং ব্যাসার্ধ $r = 3$ একক। বৃত্তের কার্তেসীয় সমীকরণ: $$(x-0)^2 + (y-3)^2 = 3^2$$ $$\Rightarrow x^2 + y^2 - 6y + 9 = 9$$ $$\Rightarrow x^2 + y^2 = 6y$$ আমরা জানি, $x = r \cos \theta$ এবং $y = r \sin \theta$। সুতরাং, $x^2 + y^2 = r^2$। সমীকরণটিতে মান বসিয়ে পাই, $$r^2 = 6(r \sin \theta)$$ $$\Rightarrow r = 6 \sin \theta$$ ইহাই নির্ণেয় পোলার সমীকরণ। (খ) বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয় $(-1, 3)$ ও $(4, 2)$। আমরা জানি, $(x_1, y_1)$ ও $(x_2, y_2)$ প্রান্তবিন্দুবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ: $$(x - x_1)(x - x_2) + (y - y_1)(y - y_2) = 0$$ $$(x + 1)(x - 4) + (y - 3)(y - 2) = 0$$ $$\Rightarrow x^2 - 4x + x - 4 + y^2 - 2y - 3y + 6 = 0$$ $$\Rightarrow x^2 + y^2 - 3x - 5y + 2 = 0$$ এটি বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $2g = -3 \Rightarrow g = -\frac{3}{2}$ $2f = -5 \Rightarrow f = -\frac{5}{2}$ $c = 2$ বৃত্তটি $y$-অক্ষ হতে যে পরিমাণ অংশ ছেদ করে তার দৈর্ঘ্য: $$= 2 \sqrt{f^2 - c}$$ $$= 2 \sqrt{(-\frac{5}{2})^2 - 2}$$ $$= 2 \sqrt{\frac{25}{4} - 2}$$ $$= 2 \sqrt{\frac{25 - 8}{4}}$$ $$= 2 \sqrt{\frac{17}{4}} = 2 \cdot \frac{\sqrt{17}}{2} = \sqrt{17}$$ নির্ণেয় ছেদিতাংশের দৈর্ঘ্য $\sqrt{17}$ একক। (গ) প্রদত্ত বৃত্তের ব্যাসের প্রান্তবিন্দুদ্বয় $(-1, 3)$ ও $(4, 2)$। সুতরাং, প্রদত্ত বৃত্তের কেন্দ্র $C_1 = (\frac{-1+4}{2}, \frac{3+2}{2}) = (\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$। নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র $C_2 = (\frac{1}{2}, -\frac{1}{2})$ এবং এটি $C_1 (\frac{3}{2}, \frac{5}{2})$ বিন্দু দিয়ে যায়। নির্ণেয় বৃত্তের ব্যাসার্ধ $R = C_1 C_2$ এর দূরত্ব: $$R = \sqrt{(\frac{3}{2} - \frac{1}{2})^2 + (\frac{5}{2} - (-\frac{1}{2}))^2}$$ $$= \sqrt{(1)^2 + (3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$$ নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: $$(x - \frac{1}{2})^2 + (y + \frac{1}{2})^2 = (\sqrt{10})^2$$ $$\Rightarrow x^2 - x + \frac{1}{4} + y^2 + y + \frac{1}{4} = 10$$ $$\Rightarrow x^2 + y^2 - x + y + \frac{1}{2} - 10 = 0$$ $$\Rightarrow x^2 + y^2 - x + y - \frac{19}{2} = 0$$ $$\Rightarrow 2x^2 + 2y^2 - 2x + 2y - 19 = 0$$