(ক)

যে বৃত্তের কেন্দ্র $(-5, 7)$ এবং $x$-অক্ষকে স্পর্শ করে, তার ব্যাসার্ধ হবে কেন্দ্র থেকে $x$-অক্ষের লম্ব দূরত্ব। কেন্দ্রের কোটি $7$, তাই ব্যাসার্ধ,

$$\begin{aligned}r&=7\end{aligned}$$

সুতরাং নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ,

$$\begin{aligned}(x+5)^2+(y-7)^2&=7^2\ x^2+10x+25+y^2-14y+49&=49\ x^2+y^2+10x-14y+25&=0\end{aligned}$$

অতএব বৃত্তটির সমীকরণ $x^2+y^2+10x-14y+25=0$।

(খ)

উদ্দীপকে বৃত্তের একটি ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুটি $(-4, 3)$ ও $(12, -1)$। ব্যাসের প্রান্তবিন্দু $(x_1, y_1)$ ও $(x_2, y_2)$ হলে বৃত্তের সমীকরণ হয়:

$$\begin{aligned}(x-x_1)(x-x_2)+(y-y_1)(y-y_2)&=0\end{aligned}$$

সুতরাং উদ্দীপকে বর্ণিত বৃত্তের সমীকরণ,

$$\begin{aligned}(x+4)(x-12)+(y-3)(y+1)&=0\ x^2-8x-48+y^2-2y-3&=0\ x^2+y^2-8x-2y-51&=0\end{aligned}$$

অতএব বৃত্তটির সমীকরণ $x^2+y^2-8x-2y-51=0$।

এখন, সাধারণ বৃত্তের সমীকরণ $x^2+y^2+2gx+2fy+c=0$ এর সাথে তুলনা করলে,

$$\begin{aligned}2g&=-8\ g&=-4\ 2f&=-2\ f&=-1\ c&=-51\end{aligned}$$

বৃত্তটি দ্বারা $x$-অক্ষ থেকে খণ্ডিতাংশের পরিমাণ,

$$\begin{aligned}2\sqrt{g^2-c}&=2\sqrt{(-4)^2-(-51)}\ &=2\sqrt{16+51}\ &=2\sqrt{67}\end{aligned}$$

অতএব $x$-অক্ষ থেকে খণ্ডিতাংশের পরিমাণ $2\sqrt{67}$ একক।

বৃত্তটি দ্বারা $y$-অক্ষ থেকে খণ্ডিতাংশের পরিমাণ,

$$\begin{aligned}2\sqrt{f^2-c}&=2\sqrt{(-1)^2-(-51)}\ &=2\sqrt{1+51}\ &=2\sqrt{52}\ &=4\sqrt{13}\end{aligned}$$

অতএব $y$-অক্ষ থেকে খণ্ডিতাংশের পরিমাণ $4\sqrt{13}$ একক।

(গ)

উদ্দীপকে দেওয়া ব্যাসের প্রান্তবিন্দু দুটি $(-4, 3)$ ও $(12, -1)$। তাই ব্যাসের রেখার ঢাল,

$$\begin{aligned}m&=\frac{-1-3}{12-(-4)}\ &=\frac{-4}{16}\ &=-\frac{1}{4}\end{aligned}$$

সুতরাং $(-4, 3)$ বিন্দুগামী ব্যাসের সমীকরণ,

$$\begin{aligned}y-3&=-\frac{1}{4}(x+4)\ 4y-12&=-x-4\ x+4y-8&=0\end{aligned}$$

অতএব এই ব্যাসের সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ,

$$\begin{aligned}x+4y+k&=0\end{aligned}$$

এখন, বৃত্তটির কেন্দ্র ব্যাসের মধ্যবিন্দু। তাই কেন্দ্র,

$$\begin{aligned}(h, k_1)&=(\frac{-4+12}{2}, \frac{3+(-1)}{2})\ &=(4, 1)\end{aligned}$$

বৃত্তটির ব্যাসার্ধ,

$$\begin{aligned}r&=\sqrt{(4+4)^2+(1-3)^2}\ &=\sqrt{8^2+(-2)^2}\ &=\sqrt{64+4}\ &=\sqrt{68}\ &=2\sqrt{17}\end{aligned}$$

রেখাটি স্পর্শক হলে কেন্দ্র $(4, 1)$ থেকে রেখাটির দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে। তাই,

$$\begin{aligned}\frac{|4+4\cdot 1+k|}{\sqrt{1^2+4^2}}&=2\sqrt{17}\ \frac{|k+8|}{\sqrt{17}}&=2\sqrt{17}\ |k+8|&=34\ k+8&=\pm 34\end{aligned}$$

অতএব,

$$\begin{aligned}k&=26\ or\quad k&=-42\end{aligned}$$

সুতরাং নির্ণেয় স্পর্শকদ্বয়ের সমীকরণ,

$$\begin{aligned}x+4y+26&=0\ x+4y-42&=0\end{aligned}$$