(ক) দেওয়া আছে, $P(A) = 0.6$ এবং $P(B) = 0.8$। যেহেতু $A$ ও $B$ সম্পূর্ণ ঘটনা (exhaustive events), তাই $P(A \cup B) = 1$। আমরা জানি, $$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$ $$\Rightarrow 1 = 0.6 + 0.8 - P(A \cap B)$$ $$\Rightarrow P(A \cap B) = 1.4 - 1 = 0.4$$ নির্ণেয় মান $P(A \cap B) = 0.4$। (খ) ১ম পাত্রে লাল মার্বেল ৪টি, কালো ৫টি, মোট ৯টি। ২য় পাত্রে লাল মার্বেল ৬টি, কালো ৫টি, মোট ১১টি। প্রতিটি পাত্র নির্বাচনের সম্ভাবনা $\frac{1}{2}$। ১ম পাত্র থেকে ১টি লাল ও ১টি কালো মার্বেল তোলার সম্ভাবনা: $$P_1 = \frac{^4C_1 \times ^5C_1}{^9C_2} = \frac{4 \times 5}{36} = \frac{20}{36} = \frac{5}{9}$$ ২য় পাত্র থেকে ১টি লাল ও ১টি কালো মার্বেল তোলার সম্ভাবনা: $$P_2 = \frac{^6C_1 \times ^5C_1}{^{11}C_2} = \frac{6 \times 5}{55} = \frac{30}{55} = \frac{6}{11}$$ মোট সম্ভাবনা: $$P = \frac{1}{2} \times \frac{5}{9} + \frac{1}{2} \times \frac{6}{11} = \frac{5}{18} + \frac{3}{11} = \frac{55 + 54}{198} = \frac{109}{198}$$ (গ) মার্বেলগুলোর সংখ্যা হলো: ৪, ৫ (১ম পাত্র) এবং ৬, ৫ (২য় পাত্র) এবং ৭, ৬, ৭ (হলুদ, নীল, কমলা)। অর্থাৎ, $x_i = \{4, 5, 6, 5, 7, 6, 7\}$। এখানে, $n = 7$। $$\sum x_i = 4 + 5 + 6 + 5 + 7 + 6 + 7 = 40$$ $$\sum x_i^2 = 4^2 + 5^2 + 6^2 + 5^2 + 7^2 + 6^2 + 7^2 = 16 + 25 + 36 + 25 + 49 + 36 + 49 = 236$$ পরিমিত ব্যবধান, $\sigma = \sqrt{\frac{\sum x_i^2}{n} - (\frac{\sum x_i}{n})^2}$ $$\sigma = \sqrt{\frac{236}{7} - (\frac{40}{7})^2} = \sqrt{33.714 - 32.653} = \sqrt{1.061} \approx 1.03$$ নির্ণেয় পরিমিত ব্যবধান $1.03$।