ক.

কোনো পরিমিত চলকের প্রতিটি মান থেকে এর গড় বিয়োগ করে পরিমিত ব্যবধান দিয়ে ভাগ করলে যে নতুন চলক পাওয়া যায় তাকে আদর্শ পরিমিত চলক বলে।

খ.

আদর্শ পরিমিত বিন্যাসের বৈশিষ্ট্যসমূহ নিচে উল্লেখ করা হলো:

১. আদর্শ পরিমিত বিন্যাসকে লেখের মাধ্যমে উপস্থাপন করলে একটি ঘণ্টাকৃতি রেখা পাওয়া যায়।

২. এই বিন্যাসের কোনো পরামিতি থাকে না।

৩. এই বিন্যাসের গড় শূন্য এবং ভেদাঙ্ক এক।

৪. এটি z = 0 বিন্দুতে অধিকতর সমুন্নত হয়ে থাকে। 

৫. এই বিন্যাসের গড় ব্যবধান $=\frac{4}{5}$ । 

৬. এই বিন্যাসের চতুর্থক ব্যবধান $=\frac{2}{3}$ ।

গ.

গ ধরি, ফ্রিজের আয়ুষ্কাল $=x$
দেওয়া আছে, $N=500 . \mu=20 . \sigma=5$
$\therefore$ আদর্শ পরিমিত চলক, $Z=\frac{x-\mu}{\sigma}=\frac{x-20}{5}$
একটি ফ্রিজ 10 বছরের মধ্যে নষ্ট হওয়ার সম্ভাবনা, 

$P(x \leq 10)=P\left(\frac{x-20}{5} \leq \frac{10-20}{5}\right)=P(z \leq-2)$
$=P(-\propto \leq z \leq 0)-P(-2 \leq z \leq 0)$
$=0.5-0.4772=0.0228$
সুতরাং 100 টি ফ্রিজের মধ্যে 100 বছরের মধ্যে নষ্ট হবে এমন ফ্রিজের সংথ্যা $=100 \times 0.0228=2.28 \cong 2$ টি ।

ঘ.

ধরি, ক্রিজ্রে আয়ুষ্কাল = $x$
কোনো ফ্রিজের আয়ুষ্কাল 10 থেকে 15 বছর হবে তার সম্ভাবনা,

$\mathrm{P}(10 \leq x \leq 15)=\mathrm{P}\left(\frac{10-20}{5} \leq \frac{\mathrm{x}-20}{5} \leq \frac{15-20}{5}\right)$
$ =P(-2 \leq z \leq-1) $
$ =P(-2 \leq 7 \leq 0)-P(-1 \leq z \leq 0) $
$ =0.4772-0.3413=0.1359$
$500 \times 0.1359=67,95 \cong 68$  টি (প্রায়)
মনে করি, 5% ফ্রিজের আয়ুষ্কাল ৯ বছরের কম।

শর্তানুযায়ী, $\mathrm{P}(\mathrm{x}<\mathrm{a})=5 \%$

বা, $\mathrm{P}\left(\frac{\mathrm{x}-20}{5}<\frac{\mathrm{a}-20}{5}\right)=0.05$
বা, $\mathrm{P}\left(\mathrm{z}<\frac{\mathrm{a}-20}{5}\right)=0.05$
বা, $P\left(z<z_1\right)=0.05 \mid$ ধরি, $z_1=\frac{a-20}{5}$
বা, $P(-\propto \leq z \leq 0)-P\left(z_1 \leq Z \leq 0\right)=0.05$
বা, $0.5-P\left(z_1 \leq z \leq 0\right)=0.05$
বা, $0.5-0.05=\mathrm{P}\left(z_1 \leq z \leq 0\right)^{-}$
বা, $P\left(z_1 \leq z \leq 0\right)=0.45 \ldots $......(1)

পরিমিত সম্ভাবনা সারণি ব্যবহার করে পাই,

$P(-1.65 \leq z \leq 0)=0.45$

(1) নং ও (2) নং হতে পাই,

$z_1=-1.65$

বা, $\frac{a-20}{5}=\angle 1.65$
বা, $a-20=-8.25$
বা, $a=20-8.25$
বা, $a=11.75$
$\therefore \quad a \cong 12$ বছর (প্রায়)