আমরা জানি, দুটি ভেক্টর $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে, $$ \begin{aligned} \vec{A} \cdot \vec{B} &= AB \cos \theta \\ |\vec{A} \times \vec{B}| &= AB \sin \theta \end{aligned} $$ (i) বামপক্ষ, $$ \begin{aligned} (\vec{A} \cdot \vec{B})^2 + |\vec{A} \times \vec{B}|^2 &= (AB \cos \theta)^2 + (AB \sin \theta)^2 \\ &= A^2 B^2 \cos^2 \theta + A^2 B^2 \sin^2 \theta \\ &= A^2 B^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) \\ &= A^2 B^2 (1) \\ &= A^2 B^2 \end{aligned} $$ অতএব, $(\vec{A} \cdot \vec{B})^2 + |\vec{A} \times \vec{B}|^2 = A^2 B^2$ (প্রমাণিত)। (ii) বামপক্ষ, $$ \begin{aligned} (\vec{A} \cdot \vec{B})^2 - |\vec{A} \times \vec{B}|^2 &= (AB \cos \theta)^2 - (AB \sin \theta)^2 \\ &= A^2 B^2 \cos^2 \theta - A^2 B^2 \sin^2 \theta \\ &= A^2 B^2 (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) \end{aligned} $$ অতএব, $(\vec{A} \cdot \vec{B})^2 - |\vec{A} \times \vec{B}|^2 = A^2 B^2 (\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$ (প্রমাণিত)।