(ক) দুই বা ততোধিক স্বাধীন চলকের সাপেক্ষে একটি অধীন চলকের আংশিক অন্তরীকরণ করাকে আংশিক অন্তরীকরণ বলে। (খ) আমরা জানি, একক ভেক্টর $\hat{\mathbf{i}}$, $\hat{\mathbf{j}}$ এবং $\hat{\mathbf{k}}$ যথাক্রমে $x$, $y$ এবং $z$ অক্ষ বরাবর কাজ করে। এদের ক্রস গুণফলের মান নির্ণয়ের জন্য নির্ণায়ক পদ্ধতি ব্যবহার করা হয়: $$ \begin{aligned} \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}} &= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} \\ &= \hat{\mathbf{i}}(0 \cdot 0 - 0 \cdot 1) - \hat{\mathbf{j}}(1 \cdot 0 - 0 \cdot 0) + \hat{\mathbf{k}}(1 \cdot 1 - 0 \cdot 0) \\ &= \hat{\mathbf{i}}(0) - \hat{\mathbf{j}}(0) + \hat{\mathbf{k}}(1) \\ &= \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$ যেহেতু $\hat{\mathbf{i}}$ ও $\hat{\mathbf{j}}$ ভেক্টর দুটি $xy$ সমতলে অবস্থিত, তাই তাদের ক্রস গুণফলের দিক হবে ওই সমতলের লম্ব বরাবর, যা $z$ অক্ষ বা $\hat{\mathbf{k}}$ নির্দেশ করে। (গ) প্যারাসুট খোলার পূর্ব পর্যন্ত মুক্তভাবে পতনের ক্ষেত্রে আদিবেগ $u=0$ এবং অতিক্রান্ত দূরত্ব $h_1 = 100 \text{ m}$। প্যারাসুট খোলার মুহূর্তে বেগ $v_1$ হলে, $$ \begin{aligned} v_1^2 &= u^2 + 2gh_1 \\ &= 0^2 + 2 \cdot 9.8 \cdot 100 \\ &= 1960 \\ \Rightarrow v_1 &= \sqrt{1960} \approx 44.27 \text{ m s}^{-1} \end{aligned} $$ প্যারাসুট খোলার পর থেকে ভূমি স্পর্শ করা পর্যন্ত মন্দন $a = 4 \text{ m s}^{-2}$ এবং শেষ বেগ $v_2 = 2 \text{ m s}^{-1}$। এই অংশে অতিক্রান্ত দূরত্ব $h_2$ হলে, $$ \begin{aligned} v_2^2 &= v_1^2 - 2ah_2 \\ \Rightarrow 2^2 &= 1960 - 2 \cdot 4 \cdot h_2 \\ \Rightarrow 8h_2 &= 1960 - 4 \\ \Rightarrow h_2 &= \frac{1956}{8} = 244.5 \text{ m} \end{aligned} $$ সুতরাং, রাসেল মোট যে উচ্চতা থেকে মুক্ত হয়েছিল তা হলো, $$ \begin{aligned} H &= h_1 + h_2 \\ &= 100 + 244.5 = 344.5 \text{ m} \end{aligned} $$ (ঘ) রাসেলের মুক্তভাবে পতনের সময় $t_1$ হলে, $$ \begin{aligned} v_1 &= u + gt_1 \\ \Rightarrow \sqrt{1960} &= 0 + 9.8t_1 \\ \Rightarrow t_1 &= \frac{44.27}{9.8} \approx 4.52 \text{ s} \end{aligned} $$ প্যারাসুট খোলার পর থেকে ভূমিতে পৌঁছানোর সময় $t_2$ হলে, $$ \begin{aligned} v_2 &= v_1 - at_2 \\ \Rightarrow 2 &= 44.27 - 4t_2 \\ \Rightarrow 4t_2 &= 42.27 \\ \Rightarrow t_2 &= 10.57 \text{ s} \end{aligned} $$ রাসেলের মোট সময় $T_R = t_1 + t_2 = 4.52 + 10.57 = 15.09 \text{ s}$। অন্যদিকে, বিমান থেকে অনুভূমিকভাবে নিক্ষিপ্ত বস্তুর ক্ষেত্রে উল্লম্ব সরণ $H = 344.5 \text{ m}$ এবং আদি উল্লম্ব বেগ $u_y = 0$। বস্তুর ভূমিতে পৌঁছানোর সময় $t_b$ হলে, $$ \begin{aligned} H &= u_yt_b + \frac{1}{2}gt_b^2 \\ \Rightarrow 344.5 &= 0 + \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot t_b^2 \\ \Rightarrow t_b^2 &= \frac{344.5}{4.9} \approx 70.31 \\ \Rightarrow t_b &= \sqrt{70.31} \approx 8.38 \text{ s} \end{aligned} $$ যেহেতু $t_b < T_R$, তাই বস্তুটি আগে মাটি স্পর্শ করবে।